Abstrakte algebraische Logik

In der mathematischen Logik, ist die abstrakte algebraische Logik das Studium der Algebraisierung der deduktiven Systemen, die sich als eine Abstraktion der bekannte Lindenbaum-Tarski Algebra, und wie die daraus resultierenden Algebren sind zu logischen Systemen.

Geschichte

Die archetypischen Vereinigung dieser Art, einem von grundlegender Bedeutung für die historischen Ursprünge der algebraischen Logik und im Herzen aller anschließend entwickelt Subtheorien liegen, ist der Zusammenhang zwischen der Klasse der Booleschen Algebren und der klassischen Aussagenlogik. Dieser Verein wurde von George Boole in den 1850er Jahren entdeckt und von anderen, vor allem Ernst Schröder in den 1890er Jahren verfeinert. Diese Arbeit gipfelte in Lindenbaum-Tarski Algebren, von Alfred Tarski und sein Schüler Adolf Lindenbaum in den 1930er Jahren entwickelt. Später Tarski und seine amerikanischen Studenten ging auf zylindrischen Algebra, die alle der klassischen Logik erster Ordnung algebraizes entdecken und wiederbelebt Bezug Algebra, deren Modelle umfassen alle bekannten axiomatischen Mengen Theorien.

Klassische algebraische Logik, die alle Arbeiten in der algebraischen Logik, bis etwa 1960 umfasst, untersucht die Eigenschaften von bestimmten Klassen von Algebren verwendet werden, um "algebraize" spezifische logische Systeme von besonderem Interesse für bestimmte logische Untersuchungen. Im Allgemeinen wird die Algebra mit einem logischen System zugeordnet wurde gefunden, daß eine Art von Gitter, gegebenenfalls mit einem oder mehreren anderen als Gitter Komplementation unären Operationen angereichert werden.

Abstrakte algebraische Logik ist ein modernes Teilgebiet der algebraischen Logik, die in den 1950er und 60er Jahren mit der Arbeit von Helena Rasiowa, Roman Sikorski, Jerzy Łoś und Roman Suszko in Polen entstanden. Es erreichte Laufzeit in den 1980er Jahren mit den bahnbrechenden Veröffentlichungen des polnischen Logiker Janusz Czelakowski, der niederländischen Logiker Wim Blok und der amerikanischen Logiker Don Pigozzi. Der Schwerpunkt der abstrakte algebraische Logik verschoben aus dem Studium der spezifischen Klassen von Algebren mit bestimmten logischen Systemen verbunden sind, auf die Untersuchung von:

  • Klassen von Algebren mit Klassen von logischen Systemen, deren Mitglieder alle erfüllen bestimmte abstrakten logischen Eigenschaften zugeordnet sind;
  • Der Prozess, durch den eine Klasse von Algebren wird zum "algebraischen Pendant" einer gegebenen logischen Systems;
  • Die Beziehung zwischen metalogische Eigenschaften durch eine Klasse von logischen Systemen erfüllt, und die entsprechenden algebraischen Eigenschaften von ihren algebraischen Pendants erfüllt.

Der Übergang von der klassischen Algebralogik, um abstrakte algebraische Logik kann für den Durchgang von "modern" oder abstrakten Algebra, um universelle Algebra erfüllen spezifische abstrakte Objekte) verglichen werden.

Die beiden wichtigsten Beweggründe für die Entwicklung der abstrakten algebraischen Logik sind eng verbunden und darüber. Bezüglich wurde ein kritischer Schritt beim Übergang von der Arbeit des Rasiowa eingeleitet. Ihr Ziel war es abstract Ergebnisse und Methoden bekannt, für die klassische Aussagenlogik und Boolesche Algebra und einigen anderen nahe verwandten logische Systeme zu halten, so dass diese Ergebnisse und Verfahren könnte zu einer viel breiteren Vielfalt von Aussagenlogik angewendet werden.

 verdankt viel der gemeinsamen Arbeit von Blok und Pigozzi Erkundung der verschiedenen Formen, die der bekannte Deduktionstheorem der klassischen Aussagenlogik und Prädikatenlogik übernimmt in einer Vielzahl von logischen Systemen. Sie bezogen sich diese verschiedenen Formen der Deduktionstheorem zu den Eigenschaften der algebraischen Gegenstücke dieser logischen Systemen.

Abstrakte algebraische Logik hat sich zu einem gut etablierten Unterfeld algebraischer Logik, mit vielen tiefen und interessanten Ergebnissen. Diese Ergebnisse erklären, viele Eigenschaften der verschiedenen Klassen von logischen Systemen bisher nur in einem Einzelfall erklärt oder im Dunkeln. Vielleicht die wichtigste Errungenschaft der abstrakten algebraischen Logik in einer Hierarchie war die Klassifizierung der Aussagenlogik, die so genannte abstrakte algebraischen Hierarchie oder Leibniz-Hierarchie, deren Ebenen in etwa die Stärke der Beziehungen zwischen einem logischen auf einer bestimmten Ebene und die zugehörige Klasse zu reflektieren von Algebren. Die Position einer Logik in dieser Hierarchie bestimmt das Ausmaß, in dem die Logik kann unter Verwendung bekannter algebraischen Methoden und Techniken untersucht werden. Sobald eine Logik auf ein Niveau dieser Hierarchie zugeordnet ist, kann man auf der leistungsstarken Arsenal der Ergebnisse, in den vergangenen 30-ungeraden Jahren angesammelt zu ziehen, zur Regelung der Algebra auf der gleichen Ebene der Hierarchie befinden.

Die oben Terminologie kann irreführend sein. 'Abstract Algebraische Logic "wird oft verwendet, um die Annäherung der ungarischen Schule einschließlich Hajnal Andreka, István Németi und andere zeigen. Was wird als 'Abstract Algebraische Logic "in den vorstehenden Absätzen sollte' Algebraische Logic 'sein. Algebraisierung Gentzen Systeme von Ramon Jansana, J. Font und andere ist eine deutliche Verbesserung gegenüber "algebraische Logik".

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